[快乐数学]一元三次方程的求根公式

2022-08-13 00:00 评论 0 条

例题1:设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围;。

盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式一定不存在A≤0的值。

为了方便,在不引起混淆的情况下三次函数y=ax³+bx²+cx+d,a≠0,x∈R可能会用f(x)代替。

般解法:将其转化成函数图象与直线的交点问题题型3:恒成立和存在性问题一般解法:(1)将所求参数移到一边,自变量移到另一边,之后构造新函数求解新函数的最值(2)直接将参数移至函数中,在利用导数等方法求解函数的最值。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法。

函数f(x)=ax^3+px的顶点最多有2个,这里只探讨偏右的一个。

盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式解题。

更为具体的零点判定常见盛金公式。

方法如下:(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a(9)对比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)可化为(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)式(14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。

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